Desarrollan ecuación matemática con aplicaciones en 3D

Ciudad de México, México, 10/08/12, (N22).- El concepto de compacidad se relaciona con la geometría de los objetos y tiene múltiples aplicaciones en diferentes campos de la ciencia. En su forma clásica relaciona el perímetro con el área de cualquier objeto, y es válido para dos y tres dimensiones.

Al desarrollar la ecuación de la compacidad discreta para el análisis del mundo digital, donde todos los objetos están compuestos por elementos discretos y finitos llamados pixeles, Ernesto Bribiesca creó un nuevo concepto, que tiene un poderoso impacto en el mundo entero porque sirve para llevar a cabo mediciones y clasificaciones en estudios médicos, geológicos y ecológicos, entre otros.

El investigador del Departamento de Ciencias de la Computación del Instituto de Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en Sistemas (IIMAS) de la UNAM, explicó que “la compacidad clásica es la relación entre el perímetro y el área de un objeto. En su fase discreta se basa directamente en el perímetro de contacto de cualquier figura compuesta por celdas regulares (triángulos, rectángulos o hexágonos)”.

El perímetro de contacto es la vecindad de los pixeles que se tocan. Ahora bien, en esa vecindad cuenta el número de lados de estos últimos, que componen una forma. Así, entre más lados se toquen, la forma será más compacta (un círculo), y entre menos, será menos compacta (una amiba o una araña).

El hecho de que dependa más de cómo se tocan los pixeles vecinos que del perímetro (como en el concepto clásico), hace que la compacidad discreta sea una herramienta de medición más sencilla, apta y robusta para la clasificación de formas.

“Otra ventaja del perímetro de contacto es que, si bien fue pensado para usarse en siluetas planas, donde hay área y perímetro, se puede aplicar también a imágenes en tres dimensiones (como volcanes y tumores), donde lo importante es relacionar la superficie envolvente con el volumen”, aseguró Bribiesca, quien ha colaborado cercanamente con el Instituto Tecnológico de Massachusetts y la NASA.

Gran aceptación internacional

En un primer momento, el investigador aplicó esta herramienta de medición (basada en un algoritmo lineal, casi sin complejidad) para determinar qué tan compactas son las estructuras de los volcanes La Malinche, Popocatépetl e Iztaccíhuatl.

Y desde su publicación, la ecuación ha tenido una gran aceptación internacional, sobre todo en el área de la imagenología biomédica, porque ofrece resultados inmediatos y resulta fácil de usar (su complejidad computacional es muy baja).

Por ejemplo, a partir de cortes, Ulf-Dietrich Braumann, del Laboratorio de Bioinformática de la Universidad de Leipzig, Alemania, reconstruyó tridimensionalmente distintos tumores cervicouterinos, y ya digitalizados, aplicó la ecuación de la compacidad discreta para clasificarlos (desde el más compacto hasta el más difuso). Asimismo, con la ecuación extendida para objetos fragmentados, determinó cómo y cuánto se ramifican, es decir, cómo y cuánto hacen metástasis.

En otro estudio que hizo para comparar la compacidad clásica con la discreta en imágenes tridimensionales, Braumann encontró que la ecuación desarrollada por Bibriesca mejora las clasificaciones hasta en 80 por ciento.

Esto se debe a que la discreta se basa principalmente en las superficies de contacto de los voxels (hexaedros regulares) que componen un objeto, y no tanto en su superficie envolvente.

“De ahí que Braumann proponga la ecuación de la discreta como un estándar internacional para clasificar ese tipo de tumores. Al aplicarla, ayudaría eventualmente a los oncólogos y ginecólogos a dar un mejor diagnóstico y tomar las decisiones terapéuticas más pertinentes”, afirmó Bribiesca.

Otras aplicaciones

Esta ecuación se ha utilizado en Francia para caracterizar propiedades topológicas y geométricas en muestras de tumores; en Canadá, para ver la compacidad de diferentes rocas y así catalogar suelos; en Estados Unidos y Bélgica, para calcular la de zonas ecológicas, y en Dinamarca, para medir la de la vejiga urinaria en personas adultas mayores (en el momento que cambian de posición al dormir, la compacidad de ese órgano se modifica también, lo que propicia el deseo de orinar).

En México, se aplicó en la Universidad Autónoma Metropolitana (con el grupo de Verónica Medina) para analizar la de algunas estructuras del cerebro. “En este caso se midieron las materias gris y blanca, y se calculó su compacidad, con la idea que ésta podría tener algo que ver con enfermedades como el Alzheimer”, apuntó.

Porosidad de tumores

Al extender la ecuación del perímetro de contacto, Bribiesca pudo calcular la porosidad de objetos de grosor unitario, que en matemáticas se relaciona con el número de Euler (del suizo Leonhard Euler, uno de los matemáticos más brillantes de la historia).

Para determinar el número de Euler se considera la cantidad de caras de una figura (en este caso, un poliedro), más los vértices, menos el número de aristas; el resultado siempre es igual a 2.

Sobre el uso de la ecuación del perímetro de contacto para calcular el número de Euler, Bribiesca publicó un artículo en una revista de arbitraje internacional. Y fue tal el interés que despertó, que al poco tiempo,Vertical News mencionó esa aportación original del investigador de la UNAM.

El siguiente paso para el universitario es formar un equipo con Hermilo Sánchez y Humberto Sossa, y colaborar con el grupo del alemán Braumann en el estudio de la porosidad de los tumores, de sus hoyos y túneles. “Es como analizar y contar la cantidad de agujeros que tiene un queso gruyere. Este tipo de estudio tiene otras aplicaciones: en yacimientos petroleros, materiales, polímeros o esponjas”

Medición y análisis

A final de cuentas, ¿cuál es el objetivo de la ecuación de la compacidad discreta desarrollada por Bribiesca? Medir, analizar. En medicina puede servir para hacer un mejor diagnóstico; en geología, para clasificar rocas y establecer la existencia de yacimientos minerales, y en agronomía, para diferenciar e inventariar diversos tipos de cultivos.

Se debe aclarar que con ella un médico no puede saber si un tumor es benigno o maligno, sino únicamente tener una idea de qué tan compacto es o qué tanto se ha ramificado; no sustituye al patólogo ni a la biopsia.

“Es una herramienta geométrica, topológica, que ayuda a medir y analizar. Lo mensurable es muy importante porque, como dice Lord Kelvin, la ciencia nace en el momento que es posible medir el fenómeno que tal ciencia pretende entender”, acotó.

Primer código de cadenas 3D

Con base en una notación de Adolfo Guzmán para representar objetos compuestos de segmentos ortogonales (en ángulo recto), Bribiesca, que pertenece al Sistema Nacional de Investigadores, desarrolló y formalizó un código de cadenas para representar curvas en el espacio.

“Se trata del primero en ser invariante a la rotación de curvas”, señaló.

Un código de cadenas es una secuencia de números que describe una curva en el espacio (cada número representa un cambio de dirección de la curva). El desarrollado por el universitario es de gran importancia en diferentes áreas del conocimiento: se aplica para representar una ruta de avión, la trayectoria que sigue una abeja o la doble hélice del ácido desoxirribonucleico (ADN).

A partir de ese código, Bribiesca desarrolló también, con Wendy Aguilar, una medida de similitud entre curvas y la extendió para representar objetos con forma de árboles.

Actualmente, en la Universidad de Alberta, Canadá, este código y su medida de similitud entre curvas se usan para representar y comparar múltiples objetos reales. En la Universidad de Colorado, Estados Unidos, se aprovecha para codificar los movimientos de pacientes con problemas en las articulaciones y, por medio del análisis de éstos, apoyar eficazmente su rehabilitación.

En México, se ha empleado para representar nudos y familias de curvas en el espacio. En la UNAM, por ejemplo, permitió generar, por primera vez a nivel mundial, toda la familia de curvas compuesta por 24 segmentos (aproximadamente 282 mil millones de curvas), cuya importancia es fundamental en diferentes áreas del conocimiento.

Imagen: UNAM
 

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